Prova de matemática do Agripino

De GirinoWiki

Tabela de conteúdo

1 Calcule o valor de k na expressão
2 Determine a expressão
3 Calcule
4 Ache a expressão
5 Resolva

[editar] Calcule o valor de k na expressão

$\sum_{k=1}^{10} (3 + k) = 3 + \sum_{k=1}^{10} k$

$\sum_{k=1}^{10} (3 + k) = \sum_{k=1}^{10} 3 + \sum_{k=1}^{10} k$

$\sum_{k=1}^{10} 3 = 10 \times 3 = 30$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2} \rightarrow \sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$

logo:

$\sum_{k=1}^{10} (3 + k) = 30 + 55 = 85$

$3 + \sum_{k=1}^{10} k = 3 + 55 = 58$

resultando em: $85 = 58$

Que é impossível.

[editar] Determine a expressão

$\sum_{k=1}^{n} ((5k+1)^2 - (5k-1)^2)$

$(5 k + 1) 2 = 25 k 2 + 10 k + 1$

$(5 k - 1) 2 = 25 k 2 - 10 k + 1$

logo:

$(5 k + 1) 2 - (5 k - 1) 2 = 25 k 2 + 10 k + 1 - (25 k 2 - 10 k + 1) = 20 k$

então: $\sum_{k=1}^{n} ((5k+1)^2 - (5k-1)^2) = \sum_{k=1}^{n} 20k = 20 \sum_{k=1}^{n} k$

sabendo que: $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

temos:

$20 \sum_{k=1}^{n} k = 20 \frac{n(n+1)}{2} = 10 n(n+1)$

[editar] Calcule

$\sum_{k=1}^{n} ((2k+1)^2 - (2k)^2)$

sabendo que: $(2 k + 1) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1$ e $(2 k) 2 = 4 k 2$

temos: $(2 k + 1) 2 - (2 k) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1 - 4 k 2 = 4 k + 1$

logo:

$\sum_{k=1}^{n} ((2k+1)^2 - (2k)^2) = \sum_{k=1}^{n} 4k + 1 = \sum_{k=1}^{n} 4k + \sum_{k=1}^{n} 1 = n + 4 \sum_{k=1}^{n} k$

ora, se:

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{k (k+1)}{2}$

temos: $n + 4 \sum_{k=1}^{n} k = n + 4 \frac{n(n+1)}{2} = n + 2n(n+1)$

[editar] Ache a expressão

$\sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{i + 1}{2i - 1} - \frac{i + 2}{2i + 1} \right )$

Solução by Rickbit

abre em dois somatórios

$\sum_{i=1}^{n} \frac{i + 1}{2i - 1} - \sum_{i=1}^{n} \frac{i + 2}{2i + 1}$

muda o índice do segundo somatório

$\sum_{i=1}^{n} \frac{i + 1}{2i - 1} - \sum_{i=2}^{n+1} \frac{i + 1}{2i - 1}$

extrai as pontas dos dois somatórios

$\frac{1+1}{2-1} + \left ( \sum_{i=2}^{n} \frac{i + 1}{2i - 1} - \sum_{i=2}^{n} \frac{i + 1}{2i - 1} \right ) - \frac{n+2}{2n+1}$

cancela os somatórios e simplifica

$\frac{1+1}{2-1} - \frac{n+2}{2n+1} = 2 - \frac{n+2}{2n+1} = \frac{3n}{2n+1}$

[editar] Resolva

$\sum_{i=0}^{51} (i + k) = \left ( \sum_{i=1}^{51} i \right ) + 104$

temos que:

$\sum_{i=0}^{51} (i + k) = \sum_{i=0}^{51} i + \sum_{i=0}^{51} k = \sum_{i=0}^{51} i + 52k$

No caso $\sum_{i=0}^{51} k = 52 k$ porque o somatório se inicia em 0, logo temos uma soma a mais do que se começasse em 1.

sabemos também que: $\sum_{i=0}^{51} i = 0 + \sum_{i=1}^{51} i = \sum_{i=1}^{51} i$

então temos:

$52k + \sum_{i=1}^{51} i = \left ( \sum_{i=1}^{51} i \right ) + 104 \Rightarrow 52k = 104 \Rightarrow k = \frac{104}{52} = 2$

Retirado de "http://www.girino.org/girinowiki/Prova_de_matem%C3%A1tica_do_Agripino"

Categoria: Cola

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