Transformada de Haar

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Wavelet de Haar.

A Transformada de Haar é um transformada matemática discreta usada no processamento e análise de sinais, na compressão de dados e em outras aplicações de engenharia e ciência da computação. A transformada de Haar é um caso particular de transformada discreta de Wavelet, onde o wavelet é um pulso quadrado definido por:

$\psi(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t < 0.5 \\ -1, & 0.5 \le t < 1. \\ 0, & \mbox{para outros valores de } t \end{cases}$

Na figura vemos ilustrada a wavelet de Haar. Apesar de ter sido proposta muito antes do termo wavelet ser cunhado, a wavelet de Haar é considerada como um caso particular das wavelets de Daubechies, conhecida por isso como wavelet de Daubechies D2.

A transformada de Haar pode ser usada para representar um grande número de funções $f (t)$ como sendo o somatório:

$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_k \phi(t - k)} + \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\sum_{j=0}^{\infty}{ d_{j,k} \psi(2^jt-k) }},$ onde $φ(t)$ é a função de escala definida por $\phi(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t < 1 \\ 0, & \mbox{para outros valores de } t, \end{cases}$ e $c k$ e $d j, k$ são parâmetros a serem calculados.

Por exemplo, a função degrau definida por:

$f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t < 1 \\ 0, & \mbox{para outros valores de } t, \end{cases}$

pode ser representada como $f(t) = 4\phi(t) + \psi(t) \,$ . O seja os parâmetros $c 0 = 4$ e $d 0,0 = 1$ , e $c n = 0$ e $d n, m = 0$ para $n \ne 0, m \ne 0$ .